A nevét viselő, világhírű táncegyüttese 1937 februárjában alakult. Mojszejev sokat küzdött a ”felkent" szakértőkkel, hogy érvényesíthesse elképzelését - a cselekményesség erőteljes kifejezését a táncban, továbbá a néptánc és az akadémikus balett elemeinek ötvözését -, de táncosaival is, amíg kialakította saját stílusukat. Első műsoruk, „A Szovjetunió népeinek tánca" azonnal ismertté tette őket. Később következtek a cselekményes balettek, az eltáncolt életképek. Az egyedülálló műfaj, a szcenikus néptánc sok gyötrelmes munka során alakult ki. Különleges képességű és képzettségű táncosokra volt szükség hozzá, s az utánpótlás biztosítására 1943-ban az együttes táncstúdiót alakított. Az együttesbe kerülni rang volt, Mojszejev maga válogatott a jelentkezők között, nagy hangsúlyt fektetve az alkalmasságra, tehetségre, s a lányok esetében a szépségre is.

Igor Mojszejev művészetét számos rangos kitüntetéssel díjazták. A Szovjetunió Népművésze, többszörös Állami-díjas, a Lenin-rend birtokosa volt, megkapta a Dance Magazine díját és az amerikai tánc-Oscart, a Francia Nemzetgyűlés tiszteletbeli tagjává választotta, és Magyarországon is kitüntették. Századik születésnapja alkalmából Vlagyimir Putyin orosz államfő Igor Mojszejevet lakásán kereste fel, hogy átadja neki a legújabb kitüntetést. 2007 novemberében halt meg, 101 évesen, de a társulat azóta is sikeresen működik.

A társulat közel háromszáz műsort vitt színre, máig rendkívül népszerű hazájában és a világon mindenhol. Mojszejevéket mindig a tökéletes felkészültség, a gazdag koreográfia, virtuozitás, a zene, valamint a stilizált népviseletek nyújtotta káprázatos látvány összhangja jellemezte, jellemzi. Az együttes több mint hatvan országban járt már és több mint százhatvan külföldi turnét tudhat maga mögött. Budapesten 1946 óta tíz alkalommal szerepelt nagy sikerrel, legutóbb 2002-ben.

Utolsó magyarországi fellépésükön a SYMA Csarnokban (akkor még SAP Csarnok) léptek fel. 8000 néző volt a két előadáson, majd ezután a nagy érdeklődésre való tekintettel január 1-én egy újévi előadást is tartottak az Erkel Színházban, ahol is még az esti előadás előtt még egy délutáni előadást is kellett tartani a nagy érdeklődés miatt. Ezután Győrött és Debrecenben is felléptek. Így az összes előadásukon 2002-ben közel 20000 néző csodálta meg előadásukat.